Алибек родился 30 июля 1951 года в Алматы. Он всегда мечтал стать артистом. В большой семье Днишевых Алибек был младшим, четвёртым сыном. У них дома всегда была музыка, всегда пели песни.

Музыкальное образование Днишев получил в музыкальной школе, где учился играть на аккордеоне. Своего школьного товарища поздравляет одноклассник Юрий Добрышкин:

"Так уж распорядилась судьба, что с Алибеком Мусаевичем я вместе, в одной группе, посещал детский сад. Затем, в одном классе, школу 33. В школе у нас был учитель пения Анатолий Васильевич Весельцев, который, видимо, и раскрыл истоки таланта Алика. На уроках пения учитель обычно вызывал Алика и ещё двух ребят. Вот они втроем и давали жару. Потом его стали привлекать на школьные выступления.

Жили они прямо напротив школы, в 2-этажном доме. Соседями по дому были Абусеитовы, тоже артисты, ну и Абдуллины. Потом они получили новую квартиру за кинотеатром "Алатау". Часто встречал его в то время, он ходил по Коммунистическому, от Кирова до Калинина, разучивая песни. Ну, а потом жизнь повела нас разными путями", - рассказал Добрышкин корреспонденту informburo.kz.

После школы Алибек окончил дирижёрско-хоровой факультет Алма-Атинского музыкального училища имени Чайковского. Поступал в Ленинградскую консерваторию, но не был принят. Поступил в Казахскую национальную консерватория им. Курмангазы по классу вокала у профессора Надии Шариповой, которую окончил в 1976 году.

На третьем курсе впервые получил первую премию на Всесоюзном конкурсе вокалистов имени Глинки за исполнение романса "Я помню чудное мгновенье". Исполнительская манера Днишева отличается удивительной тонкостью, красотой голоса, особым лиризмом.

В начале 1970-х годов пел с ВИА "Жетыген", в котором играл на ударных и его двоюродный брат Сагнай Абдуллин.

С 1976 года Днишев - солист Казахской государственной филармонии имени Джамбула, а с 1978 -  Казахского государственного академического театра оперы и балета имени Абая. На сегодняшний день певец продолжает концертную деятельность.

Алибек Днишев выступал с камерными программами в крупнейших залах Европы, принимал участие в спектаклях Большого театра в Москве. Гастролировал с концертными программами по городам СССР и за рубежом.

В 1997 году основал и возглавил "Театр и академию вокала Алибека Днишева".